Superposition zweier Gauss-Funktionen

Andreas Windisch, 2. Mai 2010

Diese Diskussion wurde auf Basis des Kapitels 3.7 in B. Thaller, Visual Quantum Mechanics ausgearbeitet.
Wir betrachten hier eine Superposition zweier Gauss'scher Wellenfunktionen, die in unterschiedlichen Raumbereichen 'gepeakt', also lokalisiert sind.  Wir leben in einer Dimension, ferner haben die Gauss-Funktionen denselben mittleren Impuls. Die Wellenfunktion zu einer Anfangszeit t=0 ist:

x1=-5;(*Ort des ersten Gauss*)
x2=5;(*Ort des zweiten Gauss*)
p=-10;(*Mittlerer Impuls fuer beide Gauss, das Minus kommt wiel Mathematica mi e^(+ikx) in k-Raum transfomiert*)
ψ[x_]:=(E^(I*p*x))((E^(-(((x-x1))^2)/2))+(E^(-(((x-x2))^2)/2)));(*nicht normierte Wellenfunktion im Ortsraum*)
NN=1/(Integrate[Abs[ψ[x]]^2,{x,-∞,∞}])^(1/2);(*Berechnung der Normierung*)
ϕ[k_]:=FourierTransform[NN*ψ[x],x,k];(*Wellenpaket im Impulsraum*)

Wir nehmen an, dass der Abstand der beiden Gaussfunktionen, d=|x1-x2|, viel groesser ist als die Gaussfunktionen selbst breit sind. Wir wollen nun die Ortswahrscheinlichkeitsdichte betrachten:

Plot[((Abs[NN*ψ[x]])^2),{x,-11,11},PlotStyle->{Thick,Black},Frame->True,PlotRange->{All,{-0.05,0.34}},Axes->{True,False},FrameTicks->{{{0,0.1,0.2,0.3},None},{Automatic,None}},AxesLabel->{x,None},PlotLabel->FIG. 1](*Ortswahrscheinlichkeitsdichte eines 'Schroedinger-Cat-States' bestehend aus zwei Gaussfunktionen*)

Wir berechnen nun mittels der Fourier-Transformation die Impulsverteilung |ϕ(k)((|)^2). Die beiden Teile des Wellenpaketes haben den selben mittleren Impuls p=10. Sie sind daher im gleichen Bereich im Impulsraum lokalisiert. Dies fuehrt auf ein Interferenzmuster in der Impulsverteilung.

Plot[((Abs[ϕ[k]])^2),{k,5.9,14.1},PlotStyle->{Thick,Black},Frame->True,PlotRange->{All,{-0.05,1.29}},Axes->{True,None},FrameTicks->{{{0,0.4,0.8,1.2},None},{Automatic,None}},AxesLabel->{k,None},PlotLabel->FIG. 2](*Impulsverteilung |ϕ(k)|^2 eines 'Schroedinger-Cat-States' bestehend aus zwei Gaussfunktionen*)

Wir nehmen an, dass die Wellenfunktion im Ortsraum nach einer langen Zeit t durch folgenden Ausdruck approximiert werden kann: ψ(x,t)=(1/(Sqrt[i*t]))*exp(i((x^2)/(2t)))*ϕ  ((x/t)). Hier wurde in der Formel die explizite Fouriertransformierte eingesetzt, da sonst eine Durchmischung falscher Zeitpunkte auftritt. Die Herleitung dieser Formel kann dem Buch B. Thaller, Visual Quantum Mechanics entnommen werden.

ψ[x_,t_]:=(1/(Sqrt[I*t]))*(E^(I*((x^2)/(2t))))*(((E^((-(75/2)-50 I)+(10-5 I) x/t-((((x/t))^2)/2))) ((E^(100 I))+(E^(10 I (x/t)))))/((Sqrt[2 (1+(E^25))]) (π^(1/4))));(*Ortswellenfunktion nach Zeit t*)

Nun wollen wir unser Wellenpaket etwa zur Zeit t=100 betrachten. Wir sehen, dass die Vorschrift fuer unsere Zeitentwicklung abgesehen von einem Phasenfaktor eine skalierte Version der Wellenverteilung im Impulsraum liefert.

Plot[((Abs[ψ[x,100]])^2),{x,590,1410},PlotStyle->{Thickness[0.015],Black},Frame->True,PlotRange->{All,{-0.0015,0.0125}},Axes->{True,None},FrameTicks->{{{0,0.004,0.008,0.012},None},{Automatic,None}},AxesLabel->{x,None},PlotLabel->FIG. 3](*Approximation der Ortswahrscheinlichkeitsdichte nach einer Zeit t=100*)

Interpretation

Die beiden Peaks in der Ortswahrscheinlichkeitsdichte zu Beginn beschreiben zwei Moeglichkeiten der Lokalisation eines Teilchens. Welche der beiden Orte bei einem Experiment realisiert wird kann nicht vorhergesagt werden. Fuehren wir etwa viele Messungen auf diesem System aus, so werden wir die Haelfte der gemessenen Teilchenorte bei x1 und die andere Haelfte bei x2 finden. 
Hier greift ein difiziles Argument der Interpretation an: Wir koennten sagen, dass Teilchen befaende sich entweder nahe an x1 oder nahe an x2 und dass wir lediglich nicht wuessten wo das Teilchen lokalisiert waere, solange wir nicht messen. In dieser Interpretation beschreibt die Wellenfunktion aber vorrangig den Wissensstand des Beobachters und nicht wirklich eine Systemeigenschaft. Dieser Interpretation ist eine spaetere Interferenz der beiden Moeglichkeiten nicht inhaerent.   FIG.3 zeigt eine eben solche Interferenz. Das Interferenzmuster hat zur Folge, dass manche Orte in der Zukunft nicht erreicht werden koennen. Waere das Teilchen zu Beginn bei x1 lokalisiert, dann wuerde ein Beobachter mit besserem Wissen eine Wellenfunktion nahe x1 ansezten. So kaeme es zu keiner Interferenz und das Teilchen waere spaeter an Orten detektierbar die ihm verboten waeren, wenn der Anfangszustand zusaetzlich eine nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit der Lokalisation an x2 zuliesse.
Diese Interferenz von Moeglichkeiten kann beobachtbare Konsequenzen besitzen, die eine subjektive Interpretation der Wellenfunktion als 'Wissen des Beobachters' erschweren.
Tatsaechlich kann unser Ausgangszustand ψ(x) in Neutroninterferenzexperimenten realisiert werden. In einem Neutroninterferrometer wird ein Strahl von Neutronen in zwei makroskopisch (einige cm) getrennte Teilstrahlen zerlegt, die spaeter zur (Selbst)interferenz wieder zusammengefuehrt werden. Das Interferenzmuster aendert sich, wenn einer der Strahlen manipuliert wird. Die Neutronendichte im Strahl ist so gering, dass man von wiederholten Experimenten mit jeweils einem Neutron sprechen kann, dh. wird ein Neutron detektiert befindet sich das naechste Neutron noch in einem Atom der radioaktiven Strahlungsquelle. Die Beobachtung der Interferenz zeigt uns somit, dass die Wellenfunktion eines Neutrons im Interferometer tatsaechlich in zwei Teile zerlegt wird. Das Wellenpaket in einer der beiden Strahlen kann nun geshiftet (verzoegert) werden, so dass der Zustand nach der Zusammenfuehrung der beiden Strahlen durch zwei Gauss-Peaks beschrieben wird.  FIG.2 wurde ebenfalls experimentell beobachtet. Ein Zustand der eine Superposition zweier unterschiedlicher Zustaende ist heisst Schroedinger Katzen Zustand (Schroedinger cat state).